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Nov 04, 2023

Scientific Reports volumen 12, Número de artículo: 17037 (2022) Citar este artículo

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Detalles de métricas

Los diagramas de facetas entre la pendiente de la superficie y la temperatura se calculan numéricamente en función de la mecánica estadística para superficies inclinadas entre (001) y (111) superficies en equilibrio. Se emplea un modelo de red que incluye atracciones paso a paso de tipo punto de contacto de los acoplamientos mecánicos cuánticos entre pasos vecinos. Comparando los diagramas de facetado obtenidos con el diagrama de fase para el agrupamiento escalonado propuesto por Song y Mochrie para Si(113), la energía efectiva de atracción paso a paso para Si(113) se estima en aproximadamente 123 meV. Las dependencias de pendiente de la altura media de los macropasos facetados con una superficie lateral (111) y con una superficie lateral (001) se calculan utilizando el método de Monte Carlo. Los diagramas de facetas se pueden utilizar como guía para controlar el montaje/desmontaje de macropasos facetados para diseñar nuevas disposiciones de superficie.

Para satisfacer la necesidad urgente de eficiencia energética para abordar el calentamiento global, se ha vuelto importante desarrollar métodos para producir materiales semiconductores de manera confiable con bajo consumo de energía. En particular, se espera que los semiconductores compuestos III-V y II-VI como SiC y GaN sean materiales apropiados para cumplir este propósito1,2. Sin embargo, la formación de macropasos o el agrupamiento de pasos en las superficies de los cristales degrada la calidad de los cristales de estos materiales en la masa fundida o durante el crecimiento de la solución1. Amplios estudios experimentales han investigado métodos para prevenir la formación de macropasos, pero aún es difícil lograr el crecimiento de cristales sin macropasos. Por lo tanto, se requieren estudios teóricos fundamentales para controlar el montaje/desmontaje escalonado en superficies inclinadas.

Se han realizado amplios estudios sobre las inestabilidades de macropasos para el crecimiento de vapor o para la epitaxia de haces moleculares (MBE)3,4,5. Sin embargo, ha habido pocos estudios teóricos sobre inestabilidades de macropasos en el equilibrio. Cabrera y Coleman6 y Cabrera7 estudiaron la relación entre la anisotropía de la densidad de energía libre superficial (tensión superficial) y la morfología de una superficie inclinada. Demostraron que la forma anisotrópica "tipo II" de la tensión superficial provoca un macropaso en una superficie inclinada. Sin embargo, no desarrollaron un modelo microscópico para las inestabilidades de macropasos.

Rottman y Wortis8 estudiaron las transiciones de facetado de la forma del cristal de equilibrio (ECS), es decir, la forma de gota de cristal con la energía libre superficial total más baja8,9,10,11,12. La transición de facetas es un fenómeno en el que una faceta que se contrae desaparece a una determinada temperatura en el ECS a medida que aumenta la temperatura. Adoptaron un modelo Ising tridimensional (3D) con acoplamientos de vecino más cercano (nn) y vecino más cercano (nnn) con condiciones anti-límite para formar una interfaz 2D. Establecieron que la temperatura de transición de facetado es la misma que la temperatura de transición de rugosidad \(T_\text{R}\) para la superficie de faceta8,13,14. También estudiaron el caso en el que la constante de acoplamiento nnn es antiferromagnética y demostraron que el ECS tiene una transición de forma de primer orden en un borde de faceta (borde de faceta afilado) a baja temperatura (Fig. 1a, b, e). Es decir, la figura de Wulff, la gráfica polar de la tensión superficial (energía libre superficial por área normal), se vuelve discontinua a baja temperatura. Como se ilustra en la Fig. 1e, la pendiente p de la superficie tangencial en el ECS es cero para la superficie (001), y luego la pendiente aumenta continuamente hasta \(p_1\) a medida que el punto de la superficie se mueve hacia la derecha. A medida que este punto se mueve más hacia la derecha, la pendiente de la superficie salta de \(p_1\) a la de una superficie (111). Aunque consideraron la transición de forma, no proporcionaron detalles sobre la morfología de la superficie inclinada (Fig. 1c, d).

( a ) y ( b ) Ilustraciones de la vista en perspectiva de ECS (energía libre de Andreev) para zonas de caída escalonada y facetas escalonadas, respectivamente. Líneas finas: bordes de facetas sin salto de superficie-pendiente p. Líneas gruesas: bordes afilados de facetas con saltos p (transición de forma de primer orden8,18). (c) y (d) Vistas laterales de superficies inclinadas en equilibrio basadas en los resultados de las Refs. 18 y 21. La pendiente p en el método Monte Carlo corresponde a \(p=\Delta h/L\) con \(\Delta h = N_\text{step}a\). (e) Sección transversal de ECS en el plano \(\langle 001 \rangle\)–\(\langle 111 \rangle\) en la zona de gotas escalonadas con \(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon = -0.9\ ) y \(k_\text{B}T/\varepsilon = 0.63\). La pendiente de la superficie p en \(\eta\) es la pendiente del plano tangencial en \(\eta\). \(p_1\) representa la pendiente de la superficie inclinada en el punto coexistente. \(p_\text{sp}\) representa la pendiente de la superficie en el punto espinodal de la superficie metaestable. (f) \(\varepsilon _\text{int}\)-T faceting diagram19,22. Los triángulos rojos indican valores de \(T_{f,2}\). Los cuadrados azules indican \(T_{f,1}\) valores. Los círculos rosas indican las temperaturas de transición de rugosidad para la superficie (001) \(T_\text{R}^{(001)}\). La línea verde es una línea de límite de zona calculada por el modelo 2D Ising. Los valores de todos los símbolos se calcularon utilizando el método PWFRG. Para conocer las definiciones de los términos QI Bose sólido, QI Bose líquido y QI Bose gas, consulte la Ref.19. Esta figura está tomada de la Ref.19.

Williams y Bartelt15 observaron un macropaso facetado en una superficie vecinal de Si(111) inclinada hacia [11-2]. La terraza (111) tiene una estructura (\(7\times 7\)), y la superficie lateral del macroescalón está formada por una estructura (\(1\times 1\)). Consideraron la formación de macropasos basada en la coexistencia de dos superficies causada por el cruce de energía libre de la superficie para las estructuras (\(7\times 7\)) y (\(1\times 1\)). Con y sin reconstrucción de la superficie, Jeong y Weeks demostraron que la cara facetada se propaga por un proceso de nucleación de caras16.

En nuestro trabajo anterior17,18, propusimos un modelo de red que muestra fenómenos de montaje/desmontaje escalonados en equilibrio (Fig. 1c,d). El modelo es un modelo sólido sobre sólido restringido (RSOS) con atracciones de paso a paso de tipo punto de contacto (modelo p-RSOS, ecuación (1)). Aquí, "restringido" significa que la diferencia de altura entre nn sitios está restringida a 0, ±1 (consulte la sección "Modelo microscópico"). La energía de atracción paso a paso de tipo punto de contacto \(\varepsilon _\text{int}\) (\(<0\)) se introdujo como una interacción mecánica cuántica entre pasos elementales. La energía de atracción se considera como la energía obtenida al formar un estado de enlace por superposición entre las nubes electrónicas de enlaces colgantes en pasos vecinos. Cabe señalar que las atracciones de paso a paso de tipo punto de contacto no existen para la superficie inclinada entre las superficies (001) y (101) en el modelo p-RSOS18. Los escalones adyacentes en la superficie inclinada nunca ocupan el mismo sitio al mismo tiempo. Por lo tanto, los macropasos facetados no se forman en la superficie inclinada entre las superficies (001) y (101) en el modelo p-RSOS.

La propiedad clave del modelo p-RSOS es la tensión superficial discontinua a baja temperatura17,18,19,20,21 para la superficie inclinada entre las superficies (001) y (111). Encontramos dos puntos de transición \(T_{f,1}\) y \(T_{f,2}\) para esta superficie inclinada. Para \(T

Entre las zonas de facetado escalonado y GMPT donde \(T_{f,2}

El objetivo de este artículo es obtener el diagrama de facetas p-T para la zona de gotitas escalonadas utilizando un método de grupo de renormalización de función de onda de producto (PWFRG) recodificado de Python27,28,29, que es una versión de matriz de transferencia del el método de la red de tensores30 o el método del grupo de renormalización de la matriz de densidad (DMRG)31. La dependencia de la pendiente de la altura media de los macropasos facetados y los macropasos facetados negativos también se calcula en equilibrio utilizando el método de Monte Carlo para ver cómo se autoorganiza la estructura no homogénea (macropasos facetados). Además, presentamos un método para estimar la energía de atracción efectiva paso a paso \(\varepsilon _\text{int}\) aproximadamente a partir de observaciones experimentales.

Debe tenerse en cuenta que la zona de gotitas escalonadas no existe en el modelo de terraza-escalón-torcedura (TSK)32 con atracciones escalonadas de tipo punto de contacto. El modelo p-RSOS es un modelo de grano más grueso que el modelo utilizado en los primeros principios de los cálculos mecánicos cuánticos33, mientras que el modelo p-RSOS es un modelo más microscópico que el modelo TSK o el modelo de campo de fase34. En el modelo TSK, las estructuras excitadas que contribuyen a la rugosidad de la superficie, es decir, los átomos de ad, los agujeros de ad, las islas y las islas negativas (ensamblaje de agujeros de ad), en la superficie de la terraza, se supone que son irrelevantes. Sin embargo, recientemente, se descubrió que tales estructuras excitadas son relevantes para las superficies de crecimiento fluctuantes35. La aparición de la zona de gotitas escalonadas es uno de esos fenómenos relevantes para la rugosidad de la superficie. Por lo tanto, nos enfocamos en los efectos de la rugosidad de la superficie y las diversas formas en que se reúnen los pasos.

Dado que la transición de rugosidad de la superficie 2D perteneciente a la clase de universalidad Kosterlitz-Thouless (KT)13 es un fenómeno bastante sutil, se requieren cálculos más precisos36 que los cálculos de campo medio o cuasiquímicos. Por lo tanto, para obtener puntos de transición confiables, usamos el método PWFRG para calcular las energías libres de la superficie. En el método PWFRG, la reducción de dimensionalidad y el relleno de unidades se utilizan iterativamente29 para reducir la gran cantidad de variables atómicas a una pequeña cantidad de "cantidades de características", como se hace para el aprendizaje profundo en redes neuronales.

Para estudiar los efectos de tamaño finito para la zona de gotitas escalonadas, adoptamos el método de Monte Carlo, porque la entropía de la superficie en el sistema de tamaño finito se tiene en cuenta con precisión. A partir de las simulaciones de Monte Carlo, podemos ver cómo los fenómenos termodinámicos se difuminan en el tamaño nanométrico del sistema. Para comparar los resultados de PWFRG con las simulaciones de Monte Carlo, no se tuvo en cuenta la repulsión de paso a paso de largo alcance, que se sabe que existe en los sistemas del mundo real, como los sistemas de repulsión elástica37,38,39. Dado que estamos estudiando fenómenos de equilibrio, no tomamos en consideración varios efectos cinéticos3,4,5.

La energía superficial de una superficie (001) para el modelo p-RSOS17,18 se expresa mediante el siguiente hamiltoniano discreto:

donde h(n, m) es la altura de la superficie en el sitio (n, m), \({{\mathscr {N}}}\) es el número total de puntos de red, \(E_\text{surf}\) es la energía de superficie por celda unitaria en la superficie plana (001), y \(\varepsilon\) es la energía de saliente microscópica para las interacciones del vecino más cercano (nn). La suma con respecto a (n, m) se toma en todos los sitios en la red cuadrada. La condición RSOS en una red cuadrada, en la que la diferencia de altura entre los nn sitios está restringida a \(\{ 0, \pm 1\}\), se requiere implícitamente. Los términos cuarto y quinto del lado derecho de la Ec. (1) representan la atracción paso a paso del tipo punto de contacto. \(\delta (a,b)\) es el delta de Kronecker y \(\varepsilon _\text{int}\) es la energía microscópica de interacción paso a paso del tipo punto de contacto. Cuando \(\varepsilon _\text{int}\) es negativo, la interacción paso a paso se vuelve atractiva (pasos pegajosos).

Las energías microscópicas \(\varepsilon\), \(\varepsilon _\text{int}\), y \(E_{\text{surf}}\) en el modelo p-RSOS (Ec. 1) son energías libres desde el punto de vista de los cálculos mecánicos cuánticos de primeros principios. La energía superficial \(E_{\text{surf}}\) incluye la entropía que se origina en las vibraciones y distorsiones de la red33. \(\varepsilon\) y \(\varepsilon _\text{int}\) pueden disminuir debido a las vibraciones de la red a medida que aumenta la temperatura. Sin embargo, se supone que son constantes a lo largo de este trabajo.

Cabe señalar que el modelo RSOS se utiliza para estudiar la transición de rugosidad40,41,42. El "modelo RSOS" utilizado para estudiar ecuaciones no lineales43,44 para interfaces fluctuantes corresponde al modelo ASOS para estudiar la transición de rugosidad40.

Introducimos el potencial químico para un paso y calculamos la gran función de partición \(\mathscr {Z}\)45,46,47,48:

donde \(\vec {\Delta h}= (\Delta h_x, \Delta h_y) = (h(n+1,m)-h(n,m),h(n,m+1)-h(n ,m)\) representa la diferencia de altura, \(\vec {\eta }=(\eta _x,\eta _y)\) representa el potencial químico de un paso, \(a=1\) representa la constante de red, y \({\tilde{f}}(\vec {\eta })\) representa la energía libre de Andreev como un gran potencial para la gran función de partición. Para calcular la función de gran partición, usamos el método de matriz de transferencia. el potencial se calcula en base al mayor valor propio de la matriz de transferencia, donde se aplica el método PWFRG, se sabe que \({\tilde{f}}(\vec {\eta })= \lambda z(-\lambda x , -\lambda y)\), donde \(\lambda\) es un multiplicador de Lagrange relacionado con el volumen de una gota de cristal, \(\eta _x=-\lambda x\), y \(\eta _y=- \lambda y\); es decir, la forma en función de \(\vec {\eta }\) es similar a la ECS8.

La pendiente de la superficie fluctúa bajo un \(\vec {\eta }\) dado a una temperatura T. El gradiente de la superficie \(\vec {p}=(p_x,p_y)\) se calcula como \((\langle \Delta h_x \rangle , \langle \Delta h_y \rangle )/a\). Designamos \(|\vec {p}|\) y \(|\vec {\eta }|\) como p y \(\eta\), respectivamente. La energía libre superficial \(f(\vec {p})\) se calcula mediante \(f(\vec {p})= {\tilde{f}}(\vec {\eta }) + \vec {\ eta } \cdot \vec {p}\)47. La tensión superficial \(\gamma (\vec {p})\) se calcula mediante \(f(\vec {p})/\sqrt{1+\vec {p}\cdot \vec {p}}\) 49.

Los diagramas de facetado p–T y \(\varepsilon _\text{int}\)–T se calculan mediante el siguiente procedimiento. Para una superficie (111), la energía libre superficial por área x–y proyectada se expresa mediante f(1, 1). Entonces la energía libre de Andreev para la superficie (111) viene dada por \({\tilde{f}}^{(111)}(\vec {\eta })=f(1,1)-\eta _x-\eta _y.\) \({\tilde{f}}(\vec {\eta })\), \(\vec {p}(\vec {\eta })\), y \({\tilde{f }}^{(111)}(\vec {\eta })\) se calculan directamente46,47,48 para cada \(\vec {\eta }\) usando el método PWFRG. Para una temperatura dada \(T_{f}\) y \(\varepsilon _\text{int}\), calculamos \(\vec {p_1}\) a partir de la condición de coexistencia de dos superficies (Fig. 1e):

donde \(\vec {\eta }^*=-\lambda (x^*,y^*)\) es \(\vec {\eta }\) en el punto coexistente de dos superficies.

La figura 2 muestra diagramas de facetas p-T calculados por el método PWFRG (red de tensores). La Figura 2a,b muestra los diagramas para \(T

Diagramas de facetas p-T basados ​​en cálculos utilizando el método PWFRG (red de tensores). Círculos negros: puntos de montaje/desmontaje de pasos \((T_{f}, p_1)\). Diamantes abiertos: puntas espinodales \((T_{f}, p_{sp})\) para superficies homogéneas a temperatura \(T_{f}\). Los errores están dentro del tamaño de los marcadores de datos. \(T_{f}\) converge a \(T_{f,1}\) y \(T_{f,2}\) para \(p \rightarrow \sqrt{2}\) y \(p \rightarrow 0\), respectivamente. Para \(T_{f,1}\le T\) (GMPT I o GMPT II), la superficie inclinada es homogénea y consta de pasos elementales y pasos fusionados localmente. Para \(T \le T_{f,2}\) (zona de facetado escalonado), la superficie inclinada consta de superficies (001) y una superficie (111). Para \(T_{f,2}

Como se ve en la Fig. 2a, los puntos de separación de fases (círculos negros) están casi alineados para formar la línea de separación de fases para \(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon = -0.5\). Por otro lado, las líneas de separación de fase son cóncavas para \(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon = -0.9\) y −1.4 en (b) y (c). En la zona I de gotas escalonadas, a temperaturas más bajas que los puntos de separación de fases, la superficie inclinada en (p, T) consiste en una superficie "escalonada" con una pendiente \(p_1\) (\(

Parece que \(p_1\) salta a \(T_{f,1}\) alrededor de \(\sqrt{2}\). Consideramos que el salto se produce por las características de terrace-step-kink (TSK). La superficie inclinada cerca de la superficie (111) tiene una estructura cercana a un TSK ideal debido a la restricción RSOS35. Volveremos sobre este fenómeno en la sección "Discusión".

En la zona de gotas escalonadas, podemos calcular la tensión superficial para la superficie metaestable17,50,51, ilustrada por la línea de puntos en la Fig. 1e. El final de la línea de puntos, donde la pendiente calculada en el método PWFRG salta a \(\sqrt{2}\) (la superficie (111)) en \(\vec {\eta }_\text{sp}\) , aproximadamente da un punto espinodal. Designamos la pendiente en el punto espinodal por \(p_\text{sp}\). La pendiente en \(\vec {\eta }_\text{sp}\) da \(p_\text{sp}= |\vec {p}(\vec {\eta }_\text{sp})| \).

En la Fig. 2, \(p_\text{sp}\) se muestran mediante diamantes azules abiertos. En un T dado, en la región \(p_1

Como resumen de esta subsección, hacemos las siguientes conclusiones. Para \(p

El diagrama de fase para Si(113) + Si(114) fue determinado por Song y Mochrie52,53 hace unas tres décadas. Sin embargo, el valor de la energía de atracción paso a paso aún no se ha determinado y, según nuestro conocimiento, los diagramas de facetas \(\varepsilon _\text{int}\)–T y p–T, incluida la entropía de rugosidad superficial para no se ha calculado una superficie inclinada para modelos realistas. Podemos estimar aproximadamente la energía atractiva paso a paso aplicando nuestros resultados. En esta subsección, mostramos cómo estimar la energía atractiva paso a paso comparando el diagrama de fase para Si(113) + Si(114) con el presente diagrama de facetas.

Se puede demostrar que el diagrama de fase para Si(113) + Si(114) determinado por Song y Mochrie es similar al diagrama de facetas del presente estudio. Para hacer esta comparación, graficamos \(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon\) vs \((T_{f,1}-T_{f,2})/T_{f,2}\) en Fig. 3 de los diagramas \(\varepsilon _\text{int}\)–T y p–T. Para Si(113), la superficie inclinada en la zona de facetas escalonadas, donde \(T_{f,2}=1134\)K, consta de superficies (113) y (114), mientras que los (113) macropasos facetados se desmontan en \(T_{f,1} = 1223\)K. Por lo tanto, \((T_{f,1}-T_{f,2})/T_{f,2} = 0.0785\). Entonces, usando la Fig. 3, tenemos \(\varepsilon _\text{int} /\varepsilon = -0.753\). Finalmente tenemos un valor aproximado de \(\varepsilon _\text{int}=-123\) meV usando el valor de \(\varepsilon = 163\) meV para Si(111) con la energía de torsión para \(({ \bar{1}}{\bar{1}}2)\)54. De esta manera, la energía de atracción efectiva microscópica paso a paso se puede estimar aproximadamente observando la transición de montaje/desmontaje del paso.

\(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon\) frente a \((T_{f,1}-T_{f,2})/T_{f,2}\). Cuadrados rellenos: puntos calculados PWFRG (DMRG). Línea continua: \(y=0.244 x^4\), donde \(y=(T_{f,1}-T_{f,2})/T_{f,2}\), \(x=\varepsilon _\text{int}/\varepsilon\).

Para aquellos casos en los que ya se han determinado diagramas de facetas \(\varepsilon _\text{int}\)–T y p–T confiables que incluyen la entropía de rugosidad de la superficie para los materiales objetivo, un valor confiable de \(\varepsilon _\text{ int}\) puede obtenerse utilizando el presente método. Cuando no existen diagramas de facetas \(\varepsilon _\text{int}\)–T o p–T para un material objetivo, los diagramas de facetas del presente estudio ayudarán a estimar \(\varepsilon _\text{int}\ ). Abordamos la confiabilidad de los valores estimados de \(\varepsilon _\text{int}\) en la sección "Discusión".

Para determinar la estructura de una superficie inclinada en un área coexistente de dos superficies que incluye efectos de tamaño finito, se realizaron simulaciones de Monte Carlo con el algoritmo Metropolis para calcular la altura media de los macropasos facetados \(\langle n \rangle\)22,25 ,26 (ecuación 4). Se considera una superficie inclinada entre una superficie (001) y una superficie (111) en el modelo p-RSOS. Aquí, la temperatura T, el número de pasos \(N_\text{paso}\) y el tamaño del sistema L son fijos (parámetros externos). A diferencia del cálculo de la energía libre superficial, la pendiente superficial p es fija y se expresa mediante \(p= N_\text{paso}a/L\) con \(a=1\). La energía de una configuración superficial viene dada por la ecuación. (1). Los átomos son capturados desde la fase ambiental a la superficie del cristal y escapan de la superficie del cristal a la fase ambiental. Para lograr el equilibrio con la fase ambiental (gas o solución), no se conserva el número de átomos en un cristal. En la información complementaria se muestran varias instantáneas de vistas de arriba hacia abajo y laterales de superficies en \(4 \times 10^8\) pasos de Monte Carlo por sitio (MCS/sitio).

Introducimos las direcciones \({\tilde{x}}\)- y \({\tilde{y}}\) como las direcciones [110] y \([ {\bar{1}}10 ]\) , respectivamente. Aquí, \({\tilde{x}}\) es normal a la dirección media del paso de carrera y \({\tilde{y}}\) está a lo largo de la dirección media del paso de carrera. Cuando la diferencia de altura \(\Delta h =1\) (o -1) en \({\tilde{y}}\) sigue a \(n_{{\tilde{x}}}\) a lo largo de \(+ {\tilde{x}}\), asignamos la altura de un macropaso como \(n_{{\tilde{x}}}({\tilde{y}})\) (o \(- n_{{ \tilde{x}}}({\tilde{y}})\)). Entonces, la altura promedio del macropaso se obtiene usando la ecuación

donde \(N_\text{paso}\) es el número total de pasos elementales y \(n_\text{paso}({\tilde{y}})\) es el número de pasos combinados en \({\tilde {y}}\) a lo largo de la dirección \({\tilde{x}}\). Tomamos el promedio de tiempo de \(\langle n \rangle\) sobre \(2 \times 10^8\) MCS/sitio después de ignorar el primer \(2 \times 10^8\) MCS/sitio. Más detalles del método de cálculo de Monte Carlo se dan en Refs.22,25.

Para la zona de facetado escalonado, la Fig. 4a muestra la dependencia p de \(\langle n \rangle /L\) donde L es el tamaño del sistema. La superficie inclinada consta de superficies (001) y (111) (Fig. 1b, d). Por lo tanto, \(\langle n \rangle\) debe ser \(N_\text{step}a=pL\) en el límite de tamaño grande. La figura confirma la dependencia lineal de \(\langle n \rangle /L\) de p. La pendiente de la línea es ligeramente menor que el valor esperado porque los bordes del macropaso están manchados debido al tamaño finito del sistema21. En el límite \(p \rightarrow \sqrt{2}\), el número de pasos se convierte en \(N_\text{paso,max}-2\) a \(N_\text{paso,max}-4\) (2–4 pasos negativos19), donde \(N_\text{paso,máx}\) es el número máximo de pasos, por ejemplo, 640 para \(L=320 \sqrt{2}\). Por lo tanto, los valores de \(\langle n \rangle /L\) cercanos a \(p= \sqrt{2}\) en la Fig. 4a se encuentran fuera de la línea debido al efecto de tamaño finito.

Dependencia de la pendiente de \(\langle n \rangle\). La configuración inicial tiene un solo macropaso. (a) Zona de facetado escalonado. Recuadro: resultados obtenidos de la configuración inicial con pasos elementales separados a distancias iguales. (b) Zona de gotitas escalonadas. ( c ) Zona I de gota escalonada y zona GMPT-I (\({\tilde{T}}= k_\text{B}T/\varepsilon = 0.8\)). ( d ) Zona de gotas de paso II. Flechas: (b) \(p_1=0.4633\), (c) \(p_1=0.3592\), (d) \(p_1=1.100\). En (b)–(d), los resultados son independientes de la configuración inicial. \(p=\Delta h/L = N_\text{paso}a/L\). \(a=1\). El promedio se toma sobre \(2 \times 10^8\)MCS/sitio después de descartar el primer \(2 \times 10^8\)MCS/sitio. Las líneas de color verde claro en (a–c) muestran \(\langle n \rangle\) para \(\varepsilon _\text{int}=0\) en \({\tilde{T}}=0.4\) ( ecuación 7). La línea verde oscuro en (d) es \(\langle n \rangle\) para \(\varepsilon _\text{int}=0\) en \({\tilde{T}}=1.4\) (Eq. 8). La línea naranja en (c) es \(\langle n \rangle\) para \(\varepsilon _\text{int}=-0.9\) en \({\tilde{T}}=0.8\) (GMPT- I) (ecuación 8).

En nuestro trabajo anterior con respecto a la zona de facetas escalonadas en el estado estacionario de no equilibrio22,26,55, mostramos que la altura media de un macroescalón facetado para \(|\Delta \mu |< \Delta \mu _{co} (L)\) en la zona de facetado escalonado es sensible a la configuración inicial. Aquí, \(\Delta \mu\) representa la diferencia química a granel entre el cristal y las fases ambientales, \(\Delta \mu _{co}(L)\) representa un punto de cruce entre la nucleación simple 2D y la poli -procesos de nucleación en el borde de los macropasos facetados, y L es el tamaño lineal del sistema. Para \(\Delta \mu _{co}< |\Delta \mu |\), \(\langle n \rangle\) no depende de la configuración inicial. Esto indica que el tiempo de relajación desde una configuración inicial hasta alcanzar la configuración de equilibrio es más largo que \(2\times 10^8\)MCS/sitio para \(|\Delta \mu |< \Delta \mu _{co}\ ). La figura 4a muestra el resultado obtenido para una configuración inicial con todos los pasos elementales fusionados. En el recuadro de la figura, mostramos los resultados a partir de una configuración con todos los pasos elementales separados por la misma distancia. Los datos están dispersos alrededor de \(\langle n \rangle (p) =2.80 + 8.87 p\). Los valores medios tienen solo una pequeña dependencia de tamaño. Para una configuración inicial de pasos separados a baja temperatura, obtuvimos resultados dispersos, donde \(\langle n \rangle (p) =2.08 + 5.19 p\) para \(k_\text{B}T/\varepsilon = 0.2\ ), \(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon = -0.9\), y \(L=80 \sqrt{2}\). Por lo tanto, la altura media de los macropasos locales es menor que la de \(k_\text{B}T/\varepsilon = 0.4\). Esta dependencia de la temperatura de la inclinación de los datos dispersos sugiere cómo la superficie logra la configuración de equilibrio sin un proceso de nucleación 2D. El proceso de compresión de pasos elementales50,51,56 es un candidato para este proceso. Esclarecer este proceso es tema para un estudio futuro.

En la zona de gota escalonada, \(\langle n \rangle\) tiene una transición alrededor de una pendiente \(p_1\), donde \(p_1\) se calcula mediante el método PWFRG, designado por una flecha en la figura. La Figura 4c muestra un ejemplo típico de la zona Step droplet I. Los datos obtenidos no dependen de la configuración inicial y se reproducen bien. El primer \(2 \times 10^8\) MCS/sitio, cuyos datos se ignoran, fue suficiente para lograr la configuración de equilibrio. Para \(p

Para \(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon =-0.5\) (Fig. 4b), la dependencia de la pendiente de \(\langle n \rangle\) para \(p_1 320 \sqrt{2}\). La superficie lateral (111) se puede separar fácilmente cuando \(\varepsilon _\text{int}\) es pequeña. Para \(p

En la zona de gotita escalonada II (Fig. 4d), \(p_1\) es grande (\(p_1=1.100\)). Dado que la pendiente \(\parcial \langle n \rangle /\parcial p\) es tan empinada, se muestra \(\langle n \rangle (\sqrt{2}-p)\). Aunque la superficie (001) es rugosa (Fig. S2), el comportamiento de \(\langle n \rangle\) es similar al de la zona I de la gota escalonada. Para \(pp_1\), \(\langle n \rangle\) se vuelve más grande que para el tamaño más pequeño del sistema.

Un macropaso negativo tiene (111) terrazas y una superficie lateral (001)19. La altura media de los macropasos negativos \(\langle n_\text{neg}\rangle\) se obtiene de los resultados de Monte Carlo para \(\langle n \rangle\) con \(\langle n \rangle (\sqrt{2 }-p)/p\)19. \(\langle n_\text{neg}\rangle\) se muestran en la Fig. 5.

Dependencia de la pendiente de la altura media de los macropasos negativos \(\langle n_\text{neg} \rangle =\langle n \rangle (\sqrt{2}-p)/p\)19. Flechas: (b) \(p_1=0.4633\), (c) \(p_1=0.3592\), (d) \(p_1=1.100\). El promedio se toma sobre \(2 \times 10^8\)MCS/sitio. (a) Zona de facetado escalonado (\({\tilde{T}}= k_\text{B}T/\varepsilon = 0.4\)). (b) Zona de gotitas escalonadas. ( c ) Zona I de gota escalonada y zona GMPT-I (\({\tilde{T}}= k_\text{B}T/\varepsilon = 0.8\)). ( d ) Zona de gota de paso II y zona GMPT-II (\({\tilde{T}}= 2.0\)). Las líneas de color verde claro en (b) y (c) son \(\langle n_\text{neg} \rangle\) para \(\varepsilon _\text{int}=0\) en \({\tilde{T }}=0.4\) (Ec. 7). La línea verde oscuro en (d) es \(\langle n_\text{neg} \rangle\) para \(\varepsilon _\text{int}=0\) en \({\tilde{T}} =1.4 \) (Ec. 8). La línea naranja en (c) es \(\langle n_\text{neg} \rangle\) para \(\varepsilon _\text{int}=-0.9\) en \({\tilde{T}}=0.8 \) (GMPT-I) (Ec. 8). La línea naranja en (d) es \(\langle n_\text{neg} \rangle\) para \(\varepsilon _\text{int}=-1.4\) en \({\tilde{T}}=2.0 \) (GMPT-II) (Ec. 11).

En la zona de facetado escalonado, \(\langle n_\text{neg}\rangle\) escalado por L disminuye linealmente a medida que p aumenta (Fig. 5a). En el límite \(p \rightarrow 0\), el número de pasos se convierte en 2–6. Por lo tanto, los valores de \(\langle n \rangle /L\) cercanos a \(p=0\) en la Fig. 4a se encuentran fuera de la línea debido al efecto de tamaño finito.

Para la zona de gotita-I escalonada, la Fig. 5c muestra resultados típicos. Para \(p

Cuando \(\varepsilon _\text{int}\) (Fig. 5b) es pequeño, el punto de transición \(p_1\) no está claro excepto por \(L> 320 \sqrt{2}\). \(p_1 = 0.4633\) se calcula por el método PWFRG (la flecha en la figura). Cuando \(L= 400 \sqrt{2}\), el punto de transición concuerda bien con el valor calculado por el método PWFRG.

En el estado coexistente de dos superficies, la superficie inclinada con \(p=N_\text{step}a/L\) se autoorganiza para formar la superficie (111) y las superficies escalonadas con una pendiente de aproximadamente \(p_1\ ). La superficie (111) juega el papel de un depósito de pasos elementales, manteniendo la superficie escalonada en \(p_1\). Cuando la superficie (111) coexiste con una superficie inclinada con \(p_1\) para \(p_1

y para \(\langle n_\text{neg} \rangle\):

donde \(1-x\) es un factor de reducción, asumiendo que x es 0, y \(L \rightarrow \infty\). La suposición clave es que todos los pasos elementales están separados, con \(p_1\) en la superficie coexistiendo con la superficie (111). \(\langle n_\text{neg}^* \rangle\) corresponde a \(\langle n_\text{neg} \rangle\) en la ecuación. (6). Cualitativamente, las ecuaciones. (5) y (6) describen los resultados de Monte Carlo en las Figs. 4 y 5 bien.

Sin embargo, cuantitativamente, los valores de \(\langle n_\text{neg}^* \rangle\) para \(p_1

La dependencia de la pendiente de \(\langle n_\text{neg}\rangle\) no es simétrica con \(\langle n \rangle\) intercambiando p por \((\sqrt{2}-p)\). La única diferencia en la estructura de la superficie inclinada entre \(p=0\) y \(p=\sqrt{2}\) son las estructuras excitadas en la terraza, como átomos de ad, agujeros de ad, islas e islas negativas ( racimos de ad-agujeros)35. Como se mencionó en la sección "Diagrama de facetado pT", la estructura de una superficie inclinada suficientemente cerca de la superficie (111) del modelo RSOS está cerca del modelo TSK ideal debido a la restricción RSOS.

En el modelo TSK ideal, el rango de la fuerza de atracción es crucial. En el caso de la atracción escalón-escalón del tipo punto de contacto, la configuración de la superficie inclinada debe tener todos los peldaños montados o todos desmontados. Podemos ver esto en el diagrama de facetas \(\varepsilon _\text{int}\)–T (Fig. 1f). Para pequeños \(\varepsilon _\text{int}\), \(T_{f,1}\) y \(T_{f,2}\) se vuelven bajos. Hay pocas estructuras excitadas en la superficie (001) que contribuyen a la rugosidad de la superficie. La estructura de la superficie inclinada cerca de la superficie (001) se acerca al modelo TSK. Esto hace que \(T_{f,1}-T_{f,2}\) sea pequeño, lo que podemos ver en la Fig. 3. Cuando la fuerza de atracción es de corto alcance (más larga que el tipo de contacto puntual) , una superficie inclinada con pendiente \(p_1\) puede contactar una superficie inclinada con pendiente \(p_2\) (\(<\sqrt{2}\)), como se mostró explícitamente para el modelo IC-RSOS47. Tal estructura ha sido observada en una superficie inclinada de Si(111)57, donde las superficies (7 \(\times\) 7) y (1 \(\times\) 1) compiten.

Al obtener un valor aproximado de \(\varepsilon _\text{int}\) para sistemas complejos, como en un material real, la plausibilidad del valor estimado depende de qué tan cerca estén el modelo actual y el modelo para los materiales. Para los cálculos del modelo p-RSOS en una red cuadrada, las energías libres superficiales y los diagramas de facetado calculados por el método PWFRG en el presente trabajo son confiables. Tenga en cuenta que la zona de gotas escalonadas no aparece en el modelo TSK con la atracción escalonada de tipo punto de contacto. Es crucial que los cálculos de los diagramas de facetado tengan en cuenta la entropía de la rugosidad de la superficie. En este sentido, consideramos que los detalles de un cristal como la estructura cristalina son menos relevantes que las estructuras excitadas en la superficie de la terraza. Aun así, los cálculos de los diagramas de facetado \(\varepsilon _\text{int}\)–T y p–T usando modelos más detallados serán considerados en estudios futuros.

Se han propuesto superficies atómicamente rugosas-lisas58, donde una superficie atómicamente rugosa indica deformaciones fuera de la red alrededor del área de la superficie. La estructura se ha encontrado mediante simulaciones de dinámica molecular (MD)59. Ejemplos de superficies lisas termodinámicas y rugosas atómicamente son \(^4\)He(0001) superficies de cristal facetado a una temperatura inferior a \(T_\text{R}^{(0001)}\) en líquido superfluido He60,61, ( 011) superficies facetadas debajo de \(T_\text{R}^{(011)}\) para Ag\(_2\)S o Ag\(_2\)Se62, y (111) superficies facetadas debajo de \(T_\text {R}^{(111)}\) de Pb63,64 rodeado de vacío. Ejemplos de superficies rugosas atómicamente y termodinámicas son las superficies anteriores a temperaturas superiores a \(T_\text{R}\)s, y las interfaces líquido-vapor65,66. Una superficie atómicamente lisa es aquella en la que la altura de la superficie \(h(\vec {x})\) en una ubicación \(\vec {x}\) está bien determinada localmente. Ejemplos de superficies lisas atómicamente y termodinámicamente lisas son (001) superficies descritas por modelos de celosía a temperaturas inferiores a \(T_\text{R}\) y muchas superficies semiconductoras planas y limpias rodeadas de vacío. Ejemplos de superficies rugosas termodinámicas y atómicamente suaves son las superficies rugosas descritas por modelos de celosía a temperaturas superiores a \(T_\text{R}\)67, y las superficies inclinadas descritas por modelos de celosía como superficies escalonadas a temperaturas inferiores a \(T_\text{ R}\) para la superficie de la terraza.

Por definición, dado que el modelo p-RSOS es un modelo de celosía, la superficie del modelo es atómicamente suave. La entropía de rugosidad atómica no se toma en consideración en el presente trabajo. Sin embargo, los diagramas de facetas \(\varepsilon _\text{int}\)–T y p–T pueden ayudar a estimar el \(\varepsilon _\text{int}\) efectivo si el modelo p-RSOS se aplica como un modelo de grano grueso de la misma manera que el modelo TSK. Los sistemas con superficies atómicamente rugosas se han tratado utilizando la transición de rugosidad y las transiciones de facetado obtenidas mediante modelos de celosía. Ambas transiciones pertenecen a la clase de universalidad KT y exhiben un comportamiento universal GMPT en el borde de la faceta en el ECS23,24. Se cree que los detalles de la estructura reticular son irrelevantes para el comportamiento universal, como el salto de curvatura gaussiana en \(T_\text{R}\)14 y el salto de curvatura gaussiana en el borde de la faceta en \(T

Cabe señalar que los diagramas de facetas calculados por el método PWFRG son para sistemas en el límite termodinámico (\(L \rightarrow \infty\)). Para examinar los efectos de tamaño finito, realizamos simulaciones de Monte Carlo. Suponiendo \(a \sim\) 4Å, nuestros resultados muestran tamaños de sistema de 45 a 200 nm. A partir de los resultados de Monte Carlo, la finitud del tamaño del sistema difumina la singularidad alrededor de \(p_1\), especialmente para un tamaño de menos de 50 nm. Una "gota de cristal" de menos de 50 nm de diámetro no puede considerarse un sistema termodinámico. En una gota de pequeño diámetro, la estructura cristalina es inestable. Similar a nuestros resultados, una gota de cristal de menos de 50 nm, como en la etapa inicial de la nucleación 3D, provoca transformaciones de forma de varios pasos. Se han observado transformaciones de forma de varios pasos para el crecimiento de gotas de cristal para un sistema Lennard-Jones72 y sistemas Pt73 mediante simulaciones MD.

En nuestros estudios anteriores, el modelo p-RSOS se aplicó a sistemas que no están en equilibrio. Encontramos fenómenos zipping50 y pinning51,56. Con una pendiente de \(p=0,53\), observamos el desmontaje/montaje de macropasos facetados22,25,26 y una superficie rugosa facetada55 entre las superficies rugosa atómica y termodinámica. De la dependencia de la pendiente del ancho de la superficie, que es la desviación estándar de la altura de la superficie, en el modelo RSOS (\(\varepsilon _\text{int}=0\)), el exponente de rugosidad cerca de (001) es diferente de que cerca de (111) para grandes \(\Delta \mu\)35. La dependencia de la pendiente de \(\langle n \rangle\) y el ancho de la superficie en condiciones de no equilibrio es un problema para futuros estudios.

Calculamos los diagramas de facetas p-T utilizando el método PWFRG (red de tensores), que se muestra en la Fig. 2. También calculamos la altura media de los macropasos facetados \(\langle n \rangle\) y los macropasos facetados negativos \(\langle n_\ text{neg} \rangle\) utilizando el método de Monte Carlo que se muestra en las Figs. 4 y 5. A partir de estos resultados, obtuvimos las siguientes conclusiones.

En el área no sombreada del diagrama de facetas p-T donde \(p

Cualitativamente, un macropaso facetado tiende a formarse bajo las siguientes condiciones: (1) gran valor absoluto de la energía de atracción paso a paso, (2) bajas temperaturas, (3) gran pendiente de la superficie inclinada, (4) gran tamaño del sistema .

Para la coexistencia de dos superficies (el área sombreada en la Fig. 2) en una T dada y \(p_1(T)

Para superficies Si(113) + Si(114), aplicando los resultados de los diagramas de facetado Figs. 2 y 3, la energía de atracción efectiva paso a paso \(\varepsilon _\text{int}\) se estimó aproximadamente en \(\varepsilon _\text{int}= -123\) meV.

Para \(\varepsilon _\text{int}=0\) en \({\tilde{T}}=k_\text{B}T/\varepsilon =0.4\) y \(L=80 \sqrt{2 }\), se sabe que las expresiones \(\langle n \rangle = s_1(p)/(\sqrt{2}-p)\) y \(\langle n_\text{neg} \rangle = s_1( p)/p\) se mantiene, donde \(s_1(p)\) viene dada por35

Las líneas se muestran en verde claro en las Figs. 4 y 5a–c. Una forma extendida de Eq. (7) es \(s_2(p)\)

Para \(\varepsilon _\text{int}=0\) en \(k_\text{B}T/\varepsilon =1.4\), tenemos

Las líneas Eq. (8) con la ecuación. (9) se muestran en verde oscuro en las Figs. 4 y 5d. Las líneas naranjas en las Figs. 4 y 5c representan la línea para GMPT-I con \(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon =-0.9\) y en \(k_\text{B}T/\varepsilon =0.8\) con \( s_2(p)\), donde

La línea naranja en la Fig. 5d representa la línea para GMPT-II con \(\varepsilon _\text{int}/\varepsilon =-1.4\) y en \(k_\text{B}T/\varepsilon =2.0\ ) con \(s_2(p)\), donde

Los conjuntos de datos utilizados y/o analizados durante el estudio actual están disponibles del autor correspondiente a pedido razonable.

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Los autores desean agradecer al Prof. T. Koshikawa e Y. Kangawa por su apoyo y aliento. Uno de los autores (NA) recibió el apoyo de una subvención KAKENHI (JP22K03487) de la Sociedad Japonesa para la Promoción de la Ciencia (JSPS). Este trabajo fue apoyado en parte por el Programa de Investigación Colaborativa del Instituto de Investigación de Mecánica Aplicada (2021 S3-5, 2022S3-CD-1), Universidad de Kyushu.

Facultad de Ingeniería, Universidad de Electrocomunicación de Osaka, Hatsu-cho, Neyagawa, Osaka, 572-8530, Japón

noriko akutsu

Departamento de Física, Escuela de Graduados en Ciencias, Universidad de Osaka, Machikaneyama-cho, Toyonaka, Osaka, 560-0043, Japón

Yasuhiro Akutsu

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NA concibió y realizó los cálculos de PWFRG y Monte Carlo y analizó los resultados. YA recodificó el programa PWFRG con Python.

Correspondencia a Noriko Akutsu.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Reimpresiones y permisos

Akutsu, N., Akutsu, Y. Diagrama de facetas pendiente-temperatura para macropasos en equilibrio. Informe científico 12, 17037 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-21309-x

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Recibido: 17 mayo 2022

Aceptado: 26 de septiembre de 2022

Publicado: 11 de octubre de 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-21309-x

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